Materi Matematika SMP Kelas VII Bentuk Aljabar

BENTUK ALJABAR

A.   Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.

Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam setiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

1. Pengertian Variabel, Suku, Faktor, Koefisien, Konstanta, dan Suku Sejenis

Untuk lebih memudahkan pemahaman terkait komponen-komponen pada bentuk aljabar, perhatikan gambar berikut ini.

Atau perhatikan bentuk x + 3 dengan x merupakan pengganti pada bilangan bulat. Jika x diganti - 2 , diperoleh x + 3 = -2 + 3. Jika x di ganti 0, diperoleh x + 3 = 0 + 3. Jika x di ganti 100, diperoleh x + 3 = 100 + 3. Simbol atau notasi x pada contoh di atas disebut variabel.

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Bentuk-bentuk seperti 2p², x²-x+4, 2ax-1 dan (x+2)(x-5) disebut bentuk-bentuk aljabar. 

Bentuk-bentuk aljabar, seperti 2p² artinya 2 x p x p. 2p² adalah bentuk aljabar suku tunggal. Suku satu atau suku tunggal adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Faktor-faktor dari 2p² adalah 2, p, p², dan 2p. Faktor yang berupa konstanta disebut koefisien.

Bentuk x² – x - 4 disebut bentuk aljabar suku tiga dengan x², -x, dan -4 sebagai suku-sukunya. Koefisien dari x² adalah 1 dan koefisien dari x adalah -1.

Pada bentuk aljabar 2ax - 1 dan x² – x + 4, suku-suku 2ax dan –x adalah suku-suku dengan variabel yang sama, yaitu x. Suku-suku seperti ini disebut suku-suku yang sejenis, sedangkan 2ax dan x² adalah suku-suku dengan variabel yang berbeda dan suku-suku seperti ini disebut suku-suku tidak sejenis.  

2.    Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

a.      Menjumlahkan dan Mengurangkan Bentuk Aljabar

Untuk memahami operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk – bentuk aljabar, perhatikan situasi berikut.

Dalam tas Ihsan terdapat 10 buku dan 7 pensil. Selanjutnya, ke dalam tas itu dimasukkan 2 buku dan dari tas itu diambil 3 pensil. Dalam tas Ihsan tentu sekarang ada ( 10 + 2 ) buku dan ( 7 – 3) pensil atau 12 buku dan 4 pensil.

Jika dalam tas Ihsan banyak buku dinyatakan dalam x dan banyak pensil dinyatakan dengan huruf y maka situasi tas ihsan semula adalah 10x + 7y kemudian terjadi 2x – 3y sehingga situasi tas Ihsan menjadi ( 10x + 7y) + ( 2x – 3y) atau (10 + 2) x + (7 - 3) y atau 12x + 4y.

Dari situasi di atas dapat dimengerti bahwa penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya dapat dikerjakan pada suku-suku yang sejenis dengan penjumlahan atau pengurangan koefisien pada suku-suku sejenis. 

b.      Perkalian Suatu Konstanta dengan Bentuk Aljabar

Sebuah perusahaan akan memberi paket lebaran pada setiap karyawan yang terdiri atas 1 kaleng biskuit, 2 botol sirup, dan 10 bungkus mie instan. Jika perusahaan itu mempunyai 100 karyawan maka perusahaan itu harus menyediakan 100 paket lebaran atau ( 100 x 1 ) kaleng biskuit, ( 100 x 2 ) botol sirup, dan ( 100 x 10 ) bungkus mie instan. Jika x menyatakan banyak kaleng biskuit, y menyatakan banyak botol sirup, dan z menyatakan banyak mie instan. Maka dapat di tulis.

100 × x + 100 × 2y + 100 × 10z atau 100 × ( x + 2y + 10z ). Sifat apa yang berlaku terkait situasi ini ?

Pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a × ( b + c ) = ( a × b ) + (a × c ) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu : a × ( b - c ) = ( a × b ) – ( a × c ). Sifat ini akan dipakai untuk menyelesaikan perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar suku dua.

c.      Perkalian dan Pembagian Dua Bentuk Aljabar

Untuk melakukan operasi perkalian dan pembagian dua bentuk aljabar, kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar. 

d.      Pangkat dan Bentuk Aljabar

aⁿ = a × a × a × ... × a , n bilangan bulat positif.

Pada perpangkatan bentuk aljabar, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal.

Contoh :

1.      Carilah hasil perpangkatan berikut ini.

a.       ( 3x )²

b.      ( 2xy²z³ )³

Jawab :

a.       ( 3x )²  = 3x . 3x  = 9x²

b.      ( 2xy²z³ )³  = 2xy²z³ . 2xy²z³ . 2xy²z³ = 8x³y⁶z⁹

B.   Operasi Perkalian Bentuk Aljabar

   1.      Mensubstitusikan Bilangan pada variabel Bentuk Aljabar

Suatu bentuk aljabar dapat ditentukan nilainya jika variabel - variabel pada bentuk aljabar tersebut disubstitusikan atau diganti dengan sembarang bilangan.

Contoh :

1.      Jika a = -2, b = 4 dan c = -1, tentukan nilai dari -3a² + 2ab - 4c.

Jawab :

Untuk a = -2, b = 4 dan c = -1 maka,

-3a² + 2ab - 4c = -3(-2)² + 2(-2)(4) - 4(-1) = -12 – 16 + 4 = -24

2.  Perkalian Bentuk p (a + b + c) dan p (a + b - c)

Masih ingat bahwa p(x + y) = px + py, p(x – y) = px - py, dan p(a + x) = pa + px .Jika nilai x pada persamaan p(a + x) = pa + px diganti dengan (b + c) atau (b – c), maka:

·         Jika x diganti dengan (b + c) maka,

       p(a + b +c)         = pa + p(b + c)

p(a + b + c)         = pa + pb + pc

         

·         Jika x diganti dengan (b – c) maka,

      p(a + b – c)         = pa + p(b – c)

  p(a + b – c)         = pa + pb - pc

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan disebut menjabarkan atau menguraikan.

Contoh :

Jika a = 2, b = -1, dan c = 1, tentukan nilai bentuk aljabar berikut.

a.    3a + 3b - 3c

b.    2a + 4b - 8c

Jawab :

a.    3a + 3b - 3c = 3(a + b – c)

                    = 3(2 + (-1) -1)

                    = 3(0)

= 0

b.    2a + 4b - 8c = 2(a + 2b - 4c)

= 2(2 + 2(-1) -4.1)

                    = 2(-4)

                    = -8

3.    Perkalian Bentuk (a - b)(p + q)

Telah diketahui bahwa x(p + q) = xp + xq.Jika pada persamaan itu nilai x diganti dengan (a – b) maka diperoleh:

(a – b)(p + q)   = (a – b) p + (a – b)q

  = ap – bp + aq – bq

(a – b)(p + q)   = ap – bp + aq – bq

Contoh :

Uraikan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. (2x – 1)(3y + 2)             

b. (5y – 3)(3z + 7)

Jawab :

a.       (2x – 1)(3y + 2) = (2x – 1) 3y + (2x – 1) 2

     = (2x.3y – 1.3y) + (2x.2 – 1.2)

     = 6xy – 3y + 4x – 2

b.      (5y – 3)(3z + 7)     = (5y – 3)3z + (5y – 3)7

     = (5y.3z – 3.3z) + (5y.7 – 3.7)

                                   = 15yz – 9z + 35y – 21

4.    Perkalian Bentuk (a + b)(a – b)

Pada operasi perkalian berlaku persamaan ( a + b )x = ax + bx. Jika nilai x pada persamaan tersebut diganti dengan ( a – b) maka diperoleh:

  ( a + b )( a – b )    = a( a – b ) + b( a – b )

                              = a² – ab + ba – b² 

                              = a² – ab + ab – b²

 ( a + b )( a – b )   = a² – b²

          Contoh :

Tentukan nilai berikut.

a.       ( p + 5 )( p – 5 )

b.      ( 3x + 7 )( 3x – 7 )

Jawab :

a.       ( p + 5 )( p – 5 ) = p² – 5² = p² – 25

b.      ( 3x + 7 )( 3x – 7 ) = ( 3x )² – 7² = 9x² – 49

5.    Bentuk (a + b)²

Perhatikan  bahwa bentuk ( a + b )² merupakan perkalian ( a + b ) dengan ( a + b ) sehingga,

        ( a + b )²  = ( a + b ) ( a + b )

                 = a² + ba + ab + b²

              =a² + ab + ab + b² ( ba = ab adalah sifat komutatif terhadap perkalian )

   ( a + b )²   = a² + 2ab + b²

Contoh :

Uraikan bentuk-bentuk berikut.

a.         ( 3p + 2 )²

b.         ( 4 + 3q )²

Jawab :

a.       ( 3p + 2 )² = ( 3p + 2 ) ( 3p + 2 )

   = 9p² + 6p + 6p + 4

   = 9p² + 12p + 4

b.      ( 4 + 3q )² = ( 4 + 3q ) ( 4 + 3q )

   = 16 + 12q + 12q + 9q²

   = 16 + 24q + 9q²

6.    Bentuk ( a – b )²

Perhatikan bahwa bentuk ( a – b )² merupakan perkalian ( a – b ) dengan ( a – b ) sehingga,

( a – b )² = ( a – b ) ( a – b )

    = a² – ba – ab + b²

    = a² – ab – ab + b²

( a – b )² = a² – 2ab + b²

Contoh :

Uraikan bentuk-bentuk berikut.

a.       ( x – 3 )²                

b. ( 2y – 5 )²

Jawab :

a.       ( x – 3 )²  = ( x – 3 ) ( x – 3 )

  = x² – 3x – 3x + 9

  =  x² – 6x + 9

b.      ( 2y – 5 )²  = ( 2y – 5 ) ( 2y – 5 )

    = 4y² – 10y – 10y + 25

    = 4y² – 20y + 25