Materi Matematika SMP Kelas VIII Persamaan Garis Lurus

PERSAMAAN GARIS LURUS

Persamaan garis lurus adalah sebuah persamaan yang jika di gambarkan ke dalam sebuah bidang koordinat Cartesius akan membentuk suatu garis lurus. Dan yang di maksud dengan garis lurus ialah kumpulan titik – titik yang letaknya sejajar.

1. Gradien

– Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.

– Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx + c , dengan m(gradien)

– Sedangkan pada persamaan garis : ax + by + c = 0 maka gradiennya :

by = -ax – c

y = -a/bx – c/b

m(gradient) = -a/b

Contoh soal:

Tentukan gradien persamaan garis 2x + 4y + 5 = 0

Jawab:

4y = -2x-5

y = -2/4 x – 5/4

maka m = -2/4 = -1/2

cara cepat = -a/b = -2/4

Ada beberapa jenis gradien, yaitu:

a) Gradien bernilai positif

Bila m (+) 

Contoh : 6x – 2 y – 9 = 0

m = – (6/-2) = 3 (positif)

b) Gradien bernilai negatif

Bila m (-)

Contoh : 6x + 3y – 9 = 0

m = – (6/3) = -2 (negatif)

c) Gradien garis melalui pangkal koordinat

Garis l melalui pangkal koordinat (0, 0) maka : m = y/x

Contoh : Gradient garis yang melalui titik (0, 0) dan (2, -3) adalah :

m = y/x = -3/2

d) Gradien garis melalui dua titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

Sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x₁, y₁) dan Q (x₂, y₂) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

Contoh : Gradien melalui titik (-4, 5) dan (2, -3)

m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

    = (-3 - 5)/(2 + 4)

    = -8/6

    = -4/3

2. Hubungan 2 Garis Lurus :

Bila diketahui garis k : y = m₁x + c dan garis l : y = m₂x + d maka berlaku gradien :

a) m₁ = m₂ jika garis k sejajar garis l

Contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8

Jawab:

a = 3 , b = 6

m = -a/b = -3/6 = -1/2

dua garis yg sejajar m₁ = m₂ :, maka m₂= -1/2

b) m₁.m₂ = -1 jika garis l tegak lurus

Garis l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8

a = 3 , b = 6

m = -a/b

= -3/6

= -1/2

dua garis yg tegak lurus : m₁.m₂ = -1 , maka m2 = 2

3. Persamaan Garis Lurus

a) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x₁, y₁), adalah :

y – y₁ = m (x – x₁)

Contoh 1 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3, 4) dan bergradien -2.

Jawab :

Titik A(-3,4), berarti x­₁ = -3 , y₁ = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2.

Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x₁, y₁), adalah :

y – y₁ = m ( x – x₁ )

y – 4 = -2 (x – (-3))

y – 4 = -2 (x + 3 )

y – 4 = -2x – 6

y = -2x – 6 + 4

y = -2x – 2

Contoh 2 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6, 2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3)

Jawab :

Garis yang melalui titik P(2, -5) dan (-6, 3)

P(2,-5) berarti x₁ = 2 , y₁ = -5

Q(-6,3) berarti x₂ = -6 , y₂ = 3

Gradien yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah m(PQ).

Misal mPQ = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

= (3 + 5)/(-6 - 2)

= 8/-8

= -1

maka m₁ = m₂ = -1 ( dua garis sejajar )

Contoh 3:

Titik B(6, 2), berarti x­₁ = 6 , y₁ = 2.

Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :

y – y₁ = m(x – x₁)

y – 2 = -1 (x – 6)

y – 2 = -x + 6

y = -x + 6 + 2

y = -x + 8

b) Persamaan garis yang melalui dua titik

Gradien garis yang melalui titik (x₁, y₁), dan (x₂, y₂) dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x₁, y₁),

yaitu y – y₁ = m (x – x₁) dapat diperoleh rumus berikut :

y – y₁ = m ( x – x₁ )

y – y₁ = [(y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)] (x – x₁)

(y – y₁)/(y­₂ – y₁) = (x – x₁)/(x₂ – x₁)

Contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3, 4) dan titik B(5, 8)

Jawab : Garis l melalui titik A(3, 4) dan titik B(5, 8).

A(3, 4) berarti x₁ = 3 , y₁ = 4

B(5, 8) berarti x₂ = 5 , y₂ = 8

Persamaan garis yang melalui titik A(3, 4) dan titik B(5, 8) adalah:

(y – y₁)/(y₂ – y₁) = (x – x₁)/(x₂ – x₁)

(y - 4)/(8 - 4) = (x - 3)/(5 - 3)

(y - 4)/4 = (x - 3)/2

2(y – 4) = 4(x – 3)

2y – 8 = 4x – 12

2y – 4x = 8 – 12

2y – 4x = -4

y – 2x = -2

4. Hubungan 2 garis lurus

a) Persamaan garis yang berpotongan

Dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x, y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

b) Persamaan garis yang saling sejajar

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan sejajar dengan garis y = 2x – 5

Jawab : y = 2x – 5  maka m = 2m₁ = m2 = 2 (karena sejajar)

maka :

y – y₁ = m(x - x₁)

y – 3 = 2(x - 2)

y = 2x – 4 + 3

y = 2x - 1

c) Persamaan garis yang berhimpit

Garis-garis dengan persamaan y = m₁x + c₁ dan y = m₂x + c₂ berimpit, jika dan hanya jika m₁ = m₂ dan c₁ = c₂ dan secara umum garis dengan persamaan ax + by + c = 0 akan berhimpit dengan garis px + qy + r = 0 , jika p, q, r masing-masing merupakan kelipatan dari a, b, c…

d) Persamaan garis yang tegak lurus

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x – 5

Jawab :

y = 2x – 5  maka m = 2 , karena tegak lurus : m₁.m₂ = -1 maka m₂ = -1/2

sehingga persamaan garisnya :

y – y₁ = m (x - x₁)

y – 3 = -1/2(x - 2)

y = -1/2x + 1 + 3

y = -1/2x + 4

Kedua ruas dikalikan dengan 1/2

2y = -x + 4

2y + x – 4 = 0