Relasi dan Fungsi
A. Relasi
Relasi merupakan sebuah aturan yang memasangkan anggota himpunan
satu ke himpunan yang lain.
Sebuah relasi yang
terdapat dalam himpunan A dengan himpunan B biasa disebut sebagai pemasangan
atau korespondensi dari anggota yang terdapat di dalam himpunan A ke anggota
yang terdapat di dalam himpunan B.
Sebagai contoh: suatu himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka
relasi dari himpunan A dengan himpunan B dapat di sajikan ke dalam diagram
panah, diagram cartesius, himpunan pasangan berurutan, serta rumusnya dapat kita lihat pada gambar di bawah ini.
a. Diagram panah
b.
Diagram Cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan
R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 6)}
d. Rumus
f(x) = x + 1, dimana x ∊ {0, 1, 2,
5} dan f(x) ∊ {1, 2, 3, 4, 6}
B. Fungsi
Apabila sebelumnya pada bagian relasi
dari himpunan A dan himpunan B dalam fungsi disebut sebagai fungsi dari A ke B
apabia setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
Maka pada fungsi anggota dari himpunan A
disebut sebagai domain (daerah asal). Sementara anggota dari himpunan B
disebut sebagai kodomain (daerah kawan). Serta anggota yang ada dalam
himpunan B yang berpasangan (himpunan C) disebut sebagai range (hasil)
dari fungsi f.
Contoh soal 1.
Diketahui A = {1, 2, 3, 4} serta B = {1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Sebuah fungsi f:
A → B ditentukan oleh f(x) =
2x – 1. Maka:
a. Gambarlah fungsi f dengan menggunakan
diagram panah.
b. Tentukan range dari fungsi f.
c. Gambarlah grafik dari fungsi f
Jawab:
a.
b. f(x) = 2x – 1
f(1) = 2.1 – 1 = 1
f(3) = 2.3 – 1 = 5
f(2) = 2.2 – 1 = 3
f(4) = 2.4 – 1 = 7
Sehingga, range dari fungsi f yaitu {1, 3,
5, 7}
c. Grafik fungsi
Macam-Macam Fungsi, yaitu:
1. Fungsi
konstan (fungsi tetap)
Sebuah fungsi f: A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut sebagai fungsi
konstan jika dalam setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C. Yang mana C adalah bilangan
yang konstan.
Contoh soal 2.
Diketahui f: R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain {x
| -3 ≤ x < 2}. Maka tentukanlah gambar grafiknya dari fungsi di atas.
Jawab:
2. Fungsi
linier
Fungsi linier adalah fungsi f(x) = ax + b, yang mana a ≠ 0,
a dan b termasuk ke dalam bilangan konstan. Grafik linier berbentuk garis
lurus.
Contoh soal 3.
Apabila diketahui f(x) = 2x + 3, maka tentukanlah gambar
grafiknya.
Jawab:
3. Fungsi
kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi f(x) = ax² + bx + c, yang
mana a ≠ 0 dan a, b, dan c merupakan bilangan konstan. Grafik kuadrat berbentuk
seperti parabola.
Contoh soal 4.
Perhatikan gambar di bawah ini, fungsi f ditentukan oleh f(x) = x² + 2x – 3
Maka tentukan:
a. Domain fungsi f
b. Nilai minimum fungsi f.
c. Nilai maksimum fungsi f.
d. Range fungsi f adalah adalah {y |
-4 ≤ x < 5}
e. Koordinat titik balik minimum.
Jawab:
a. Domain fungsi f yaitu {x | -4 ≤ x < 2}.
b. Nilai minimum fungsi f yaitu -4.
c. Nilai maksimum fungsi f yaitu 5
d. Range fungsi f yaitu {y | -4 ≤ x < 5}
e. Koordinat titik balik minimum
grafik fungsi f yaitu (-1, -4)
4. Fungsi identitas
Fungsi identitas adalah fungsi di mana berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain dan atau daerah asal
dari fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.
Grafik fungsi identitas adalah berupa garis lurus yang melalui
titik asal serta seluruh titik melalui ordinat yang sama. Fungsi identitas akan
ditentukan oleh f(x) = x.
Contoh soal 5.
Fungsi f(x) =
x untuk setiap x.
a. Tentukan nilai dari f(-2), f(0), f(1), f(3)
b. Gambarlah grafiknya.
Jawab:
a. f(x) = x
f(-2) = -2
f(0) = 0
f(1) = 1
f(3) = 3
b. Grafik
5. Fungsi
tangga (bertingkat)
Fungsi tangga adalah fungsi f(x) yang berbentuk interval
sejajar.
Contoh soal 6.
Diketahui
fungsi f(x) = -1,
apabila x < 1
= 0, apabila -1 < x < 2
= 2, apabila 2 < x < 4
= 3, apabila x > 4
Tentukanlah inteval yang terbentuk
dari:
a. f(-2)
b. f(0)
c. f(3)
d. f(3)
e. Gambarlah grafik yang terbentuk dari data di atas.
Jawab:
a. f(-2) = -1
b. f(0) = 0
c. f(3) = 2
d. f(3) = 3
e.
6. Fungsi
modulus (mutlak)
Fungsi modulus (mutlak) merupakan fungsi
yang memetakan setiap bilangan real dakan daerah asal suatu fungsi menjadi
nilai mutlak.
7. Fungsi
ganjil dan fungsi genap
Sebuah fungsi f(x) disebut sebagai fungsi ganjil apabila berlaku f(-x) = –f(x) serta disebut
sebagai fungsi genap dan
apabila berlaku f(-x) = f(x).
Apabila fungsi f(-x) ≠ –f(x) dan f(-x) ≠ f(x) maka bukan
termasuk fungsi ganjil dan juga fungsi genap.
Contoh soal 7.
Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi ganjil, fungsi
genap, atau tidak.
a. f(x) = 2x³ + x
b. f(x) = 3 cos x – 5
c. f(x) = x² – 8x
Jawab:
a. f(x) = 2x³ + x
f(-x) = 2(-x)³ +
(-x)
= -2x³ – x
= -(2x³ + x)
= -f(x)
Sehingga, fungsi f(x)
di atas merupakan fungsi ganjil.
b. f(x) = 3 cos x³ – 5
f(-x) = 3 cos (-x)
– 5
= 3 cos x – 5
= f(x)
Sehingga, fungsi f(x)
di atas merupakan fungsi genap.
c. f(x) = x² – 8x
f(-x) = (-x)²
– 8(-x)
= x² + 8x
Fungsi f(-x) ≠ –f(x) dan f(-x) ≠ f(x)
Sehingga, fungsi f(x) di atas bukan merupakan fungsi ganjil dan fungsi
genap
Tidak ada komentar:
Posting Komentar